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06.04.2011

Grübelei in vier Farben

Mathematiker haben sich am Beweis der sogenannten Vier-Farben-Vermutung mehr als hundert Jahre lang die Zähne ausgebissen

Die Fragestellung ist denkbar simpel: Wie viele Farbtöne benötigt man mindestens, um auf einer Landkarte die verschiedenen Länder farblich voneinander zu trennen? Die Antwortet lautet: Schon mit vier Farben gibt es kein Zusammentreffen farbgleicher Bereiche, egal wie die Länder geformt sind. Das kann jeder erahnen, der einmal mit einem Blatt Papier und Farbstiften verschiedene Möglichkeiten ausprobiert. Doch wie beweist man diese sogenannte Vier-Farben-Vermutung? An dieser Frage haben sich Mathematiker die Zähne ausgebissen, genau 124 Jahre lang. Geknackt wurde das Problem schließlich nicht in klassischer Mathematikermanier mit Papier und Bleistift, sondern mithilfe eines Computers.

Die Aufgabenstellung ist einfach, die Lösung jedoch hat es in sich: Das "Vier-Farben-Problem" beschäftigt seit fast 160 Jahren kluge Köpfe auf der ganzen Welt. Grafik: Cyhawk, CC-Linzenz
Vier-Farben-Satz, Grafik: Cyhawk, CC-Linzenz

Die Geschichte der auch als Vier-Farben-Problem oder -Theorem bekannten Aufgabe begann im Jahr 1852 in London: Francis Guthrie, Absolvent des ehrwürdigen University College und offensichtlich ein kluger Kopf, schrieb in einem Brief an seinen Bruder Frederik, er möge doch einmal in Erfahrung bringen, ob es mathematisch schon bewiesen sei, dass jede Landkarte mit vier Farben auskomme. War es nicht, mussten die beiden Brüder bald darauf feststellen. Augustus De Morgan, renommierter Mathematikprofessor und Lehrer der Gebrüder Guthrie, hatte weder von einem derartigen Beweis je gehört, noch war er selbst in der Lage, einen solchen zu liefern.

Dabei blieb es zunächst, selbst als sich weitere Koryphäen der Londoner Mathematischen Gesellschaft der Sache annahmen. Eine Erfolgsmeldung kam erst 1879 vom britischen Mathematiker Alfred Kempe: Er legte einen Beweis vor, der das Theorem zu belegen schien. Doch elf Jahre später folgte die Ernüchterung: Der Mathematiker Percy Heawood fand einen Fehler in Kempes Beweisführung. Damit begann die Suche nach der Lösung von neuem.

Heawood, ein Mann, der sich sechzig Jahre seines Lebens immer wieder mit dem Theorem beschäftigte, gelang es immerhin, den Fünf-Farben-Satz zu beweisen, der besagt, dass fünf Farben in jedem Fall ausreichen. Doch der letzte Schritt zu den vier Farben blieb auch Heawood verwehrt. Zahlreiche weitere Lösungsversuche folgten, und 1922 gelang immerhin der Nachweis, dass für eine Landkarte mit höchstens 25 Ländern in jedem Fall vier Farben ausreichten. Das endgültige Ziel jedoch war, den allgemeinen Beweis mit unendlich vielen Ländern zu finden.

Jahrzehnte später war der Computer erfunden, und der lieferte schließlich den ersehnten Nachweis: Der amerikanische Mathematiker Kenneth Appel und sein deutsch-amerikanischer Kollege Wolfgang Haken ließen 1976 einen Rechner insgesamt 1936 Anordnungen überprüfen und konnten damit die Gültigkeit des Satzes beweisen. Zuvor hatten Mathematiker jedoch in jahrelanger Arbeit die Frage geklärt, welche sogenannten unvermeidbaren Anordnungen dazu überhaupt ausgewählt und überprüft werden müssen – Anordnungen also, die repräsentativ waren für absolut alle der unendlich vielen verschiedenen Möglichkeiten, wie Länder auf einer Landkarte verteilt werden können. Besonders elegant war dieses Abklappern aller denkbaren Möglichkeiten natürlich nicht. Doch bis heute steht ein schlicht auf Papier geführter Beweis noch aus.

Dieser Gegenbeweis ist nur vermeintlich: Treffen zwei Flächen nur an einem einzigen Punkt zusammen, gilt das Vier-Farben-Theorem nicht. Grafik: ud
Gegenbeweis, Grafik: ud

Der Reiz dieser Herausforderung und die Schlichtheit der Aufgabenstellung führen dazu, dass sich bis heute ungezählte Mathematiker und noch mehr Laien mit dem Theorem befassen. Wer sich selbst einmal daran versuchen möchte, sei vor vermeintlichen Gegenbeweisen gewarnt: In den USA gibt es beispielsweise einen Ort namens "Four Corners", an dem die Staaten Utah, Arizona, Colorado und New Mexico wie vier Felder eines Schachbretts zusammentreffen. Die sich diagonal gegenüberliegenden Staaten haben dabei nur einen Punkt gemeinsam. Aus solchen Konstellationen lassen sich Fälle konstruieren, in denen das Theorem vermeintlich versagt. Doch Länder, die sich nur an einem einzigen Punkt berühren, gelten überhaupt nicht als benachbart im Sinne des Satzes. Ungültig ist der Satz auch für Länder mit von anderen Ländern vollständig umschlossenen Exklaven. Wie viele Farben man hier benötigt, das ist freilich wieder eine andere Frage. (ud)